Question

甲、乙、丙、丁四个人进行传球练习，每次球从一个人的手中传入其余三个人中的任意一个人的手中．如果由甲开始作第1次传球，经过n次传球后，球仍在甲手中的所有不同的传球种数共有a_n种．
（如，第一次传球模型分析得a₁=0．）
（1）求 a₂，a₃的值；
（2）写出 a_n+1与 a_n的关系式（不必证明），并求 a_n=f（n）的解析式；
（3）求 的最大值．

Answer

（1）通过画图，作出符合题意的示意图，加以总结即可得到 a2，a3的值；
（2）计算前几项，可发现规律：an+1+（n=1，2，3，…）．利用待定系数法，得到数列 {}是首项为-，公比为-1的等比数列．最后借助于等比数列的通项公式，即可算出 an=f（n）的解析式；
（3）分n为偶数和n为奇数两种情况，讨论的单调性并结合不等式的性质进行推理，即可得到当n=2时，为 的最大值．
【解析】
（1）可画出示意图：

可得经过两次传球回到甲手中的所有不同种数为3；经过3次传球回到甲手中的所有不同种数为6．
因此可得：得 a2=3，a3=6．
（2）依题意有  a1=0，且 an+1+（n=1，2，3，…）．
将 an+1+变形为 ，
从而数列 {}是首项为，公比为-1的等比数列．
∴，可得 （n=1，2，3，…）．
（3）①当n是偶数时，
，为关于n的单调递减函数
∴当n是偶数时，随n的增大而减小，从而，当n是偶数时，的最大值是 ．
②当n是奇数时，
，为关于n的单调增减函数
∴当n是奇数时，随n的增大而增大，且 ．
综上，的最大值是 ．