Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面 PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1，点M是棱PD的中点
（Ⅰ）求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（I）M为PD的中点，要证CM∥平面PAB，取PA的中点N，只需证明直线CM平行平面PAB内的直线BN即可；
（II）取AB中点E，连接PE，利用等腰三角形三线合一，可得PE⊥AB，再由PAB⊥面ABCD结合面面垂直的性质，可得PE⊥面ABCD，即PE为四棱锥P-ABCD的高，代入棱锥体积公式可得答案．
证明：（I）取PA的中点N，连接BN、NM，
在△PAD中，MN∥AD，且MN=AD；
又BC∥AD，且BC=AD=1，
所以MN∥BC，MN=BC
即四边形BCMN为平行四边形，
CM∥BN．
又CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，
故CM∥平面PAB．
【解析】
（II）取AB中点E，连接PE
∵PA=PB，E为AB中点
∴PE⊥AB
又∵面 PAB⊥面ABCD，面 PAB∩面ABCD=AB，PE⊂面 PAB
∴PE⊥面ABCD，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=•SABCD•PE==
即四棱锥P-ABCD的体积为