Question

设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S，给出如下三个命题：
①若m=1则S={1}； 
②若m=-，则≤n≤1；  
③若n=，则-≤m≤0．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③

Answer

由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S，当x=n时，n2∈S即n2≤n，解得0≤n≤1，当x=m时，m2∈S即m2≥m，解得m≤0，或m≥1．令m=1，根据m的范围，可判断①的真假；令m=-，由m2=∈S得≤n，结合n的取值范围，可判断②的真假；令n=，根据m2∈S，可得，解不等式组，求出m的范围，可判断③的真假．
【解析】
由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S，当x=n时，n2∈S即n2≤n，解得0≤n≤1
当x=m时，m2∈S即m2≥m，解得m≤0，或m≥1
若m=1，由1=m≤n≤1，可得m=n=1，即S={1}，故①正确；
②m=-，m2=∈S，即≤n，故≤n≤1，故②正确；
对于③若n=，由m2∈S，可得解得-≤m≤0，故③正确；
故选D