Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分别是A₁C₁、BC的中点，AC=4，CB=2，AA₁=，若平面ABE⊥平面BB₁C₁C
（I）FC₁∥平面ABE
（II）求证AB⊥BC
（III）求三棱锥C₁-BEF的体积．

Answer

（I）取AB中点D，连接ED，DF，证明FC1∥ED，可得FC1∥平面ABE
（II）取B1C1的中点G，连接EG，GB，过C作CH⊥GB于H，证明AB⊥平面BB1C1C，可得AB⊥BC；
（III）由AB⊥平面BB1C1C，可得EG⊥平面BB1C1C，即EG即为三棱锥C1-BEF的底面C1BE上的高，求现底面面积和高，代入棱锥的体积公式，可得三棱锥C1-BEF的体积
证明：（I）证明：取AB中点D，连接ED，DF，则DF∥EC1，且DF=EC1，
∴FC1∥ED
∵FC1⊄平面ABE，ED⊂平面ABE
∴FC1∥平面ABE
（II）取B1C1的中点G，连接EG，GB，
则EG∥AB，GB是平面ABE与平面BB1C1C的交线
过C作CH⊥GB于H，则∵平面ABE⊥平面BB1C1C
∴CH⊥平面ABE，∴CH⊥AB
∵CC1⊥AB，CC1∩CH=C
∴AB⊥平面BB1C1C
∵BC⊂平面BB1C1C
∴AB⊥BC
【解析】
（III）∵AB⊥BC
∴AB=2
∴EG=
∵AB⊥平面BB1C1C
∴EG⊥平面BB1C1C
∴=1
∴==