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已知|x1-2|<1,|x2-2|<1. (1)求证:2<x1+x2<6,|x1...

已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.
(1)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2
(2)若f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|<f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|
(I)利用|x|<a型绝对值不等式的几何意义可证得2<x1+x2<6,继而有|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|,从而可证得结论; (II)依题意可求得|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2||x1+x2-1|,利用(Ⅰ)的结论即可证得原结论成立. 证明:(I)∵|x1-2|<1, ∴-1<x1-1<1,即1<x1<3,…(2分) 同理1<x2<3, ∴2<x1+x2<6,…(4分) ∵|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|, ∴|x1-x2|<2;                                        …(5分) (II)|f(x1)-f(x2)|=|--x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,…(8分) ∵2<x1+x2<6, ∴1<x1+x2-1<5, ∴|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|…(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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