Question

已知函数，．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用降幂公式将f（x）化简为f（x）=1+2sin（2x-），即可求得f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）|f（x）-m|＜2⇔f（x）-2＜m＜f（x）+2，而x∈[，]，可求得2x-∈[，]，从而可求得f（x）max=3，f（x）min=2，于是可求实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=[1-cos（+2x）]-cos2x
=1+sin2x-cos2x
=1+2sin（2x-） …（3分）
又∵x∈[，]，
∴≤2x-≤，，即2≤1+2sin（2x-）≤3，
∴f（x）max=3，f（x）min=2．…（7分）
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2⇔f（x）-2＜m＜f（x）+2，
∵x∈[，]，…（9分）
由（1）可知，f（x）max=3，f（x）min=2，
∴m＞f（x）max-2=1且m＜f（x）min+2=4，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．…（14分）