Question

如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A、B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“优美椭圆”；类比“优美椭圆”，可推出“优美双曲线”的离心率为    ．

Answer

首先通过类比，得“优美双曲线”的虚轴一端与左焦点的连线，垂直于该点与右顶点连线．作出示意图，在RtABF中用射影定理，得b2=ac，结合双曲线a、b、c的关系和离心率的定义解一元二次方程，即可得到“优美双曲线”的离心率．
【解析】
根据“优美椭圆”的定义，可得“优美双曲线”的虚轴一端与左焦点的连线，垂直于该点与右顶点连线．如图，设A是双曲线右顶点，B是虚轴上端点，F是左焦点
∵△ABF中，FB⊥AB，且AB⊥BF
∴OB2=OA×OF，即b2=ac
因此，c2-a2=ac，两边都除以a2并整理，得e2-e-1=0，解之得e=（舍负）
∴“优美双曲线”的离心率为
故答案为：