Question

已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量与向量f（s）≥ϕ（t）互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer

（1）由椭圆的离心率为，焦距为2，求出椭圆的方程为．联立，消去y得：5x2-6x-3=0，再由弦长公式能求求出|AB|．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，知x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，再由根的判断式得到a2+b2＞1，利用韦达定理，得到a2+b2-2a2b2=0．由此能够推导出长轴长的最大值．
【解析】
（1）∵，2c=2，
∴a=，b=，
∴椭圆的方程为．…（2分）
联立，消去y得：5x2-6x-3=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴|AB|=
=•
=．…（5分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，∴，
即x1x2+y1y2=0，
由，消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，
由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1…（7分）
∵，，
∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1，
∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2-（x1+x2）+1=0，
∴，
整理得：a2+b2-2a2b2=0．…（9分）
∴b2=a2-c2=a2-a2e2，代入上式得
2a2=1+，∴，…（10分）
∵，
∴，∴，
∴，∴，
∴适合条件a2+b2＞1．
由此得，∴，
故长轴长的最大值为．…（12分）