Question

已知等比数列{a_n}的公比为q=-．
（1）若 a₃=，求数列{a_n}的前n项和；
（Ⅱ）证明：对任意k∈N₊，a_k，a_k+2，a_k+1成等差数列．

Answer

（1）由 a3==a1q2，以及q=-可得 a1=1，代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果．
（Ⅱ）对任意k∈N+，化简2ak+2-（ak +ak+1）为 （2q2-q-1），把q=-代入可得2ak+2-（ak +ak+1）=0，故 ak，ak+2，ak+1成等差数列．
【解析】
（1）由 a3==a1q2，以及q=-可得 a1=1．
∴数列{an}的前n项和 sn===．
（Ⅱ）证明：对任意k∈N+，2ak+2-（ak +ak+1）=2a1 qk+1--=（2q2-q-1）．
把q=-代入可得2q2-q-1=0，故2ak+2-（ak +ak+1）=0，故 ak，ak+2，ak+1成等差数列．