Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．
（Ⅰ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
（II）求证：CE⊥平面PAD．

Answer

（I）由PA⊥平面ABCD，知CE⊥AD，在Rt△ECD中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1，因为AB=CE=1，AB∥CE．所以四边形ABCE为矩形，由此能够求出四棱锥P-ABCD的体积．
（II）因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE．因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，由此能够证明CE⊥平面PAD．
满分（12分）
（I）【解析】
因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，
所以PA⊥CE．
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，
在Rt△ECD中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1，
又因为AB=CE=1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形，
所以S四边形ABCD=S矩形ADCE+S△ECD
=AB•AE+CE•DE=1×2+1=，
因为PA⊥平面ABCD，PA=1，
所以V四棱锥P-ABCD=
==．
（II）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，
所以PA⊥CE．
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，

因为PA∩AD=A，
所以CE⊥平面PAD．