Question

设f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，不等式f（x）＞0的解集是（-3，2）．
（1）求f（x）；
（2）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域．

Answer

（1）由不等式f（x）＞0的解集是（-3，2），结合函数零点、方程的根与不等式解集的端点之间的关系，我们易得到-3，2是方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的两个根，根据韦达定理我们易构造出关于a，b的方程，求出a，b值后易得函数的解析式．
（2）根据（1）的结论，结合二次函数的性质，我们易判断函数在区间[0，1]上的最值，由于函数是连续函数，故可得函数f（x）的值域．
【解析】
（1）∵f（x）＞0的解集是（-3，2），
∴-3，2是方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的两个根，
∴-3+2=-1=，即b-8=a①
-3×2=-6=，即1+b=6②
解得a=-3，b=5
∴f（x）=-3x2-3x+18
（2）∵函数f（x）=-3x2-3x+18的图象是以x=为对称轴，开口方向朝下的抛物线
故函数f（x）=-3x2-3x+18在区间[0，1]上单调递减
∴当x=0时，y有最大值18，
当x=1时，y有最小值12，
∴当x∈[0，1]时函数f（x）的值域[12，18]