Question

记f（x）=ax²-bx+c，若不等式f（x）＞0的解集为（1，3），试解关于t的不等式f（|t|+8）＜f（2+t²）．

Answer

由已知不等式的解集及二次函数的性质，得到f（x）=a（x-1）（x-3），且a小于0，二次函数在[2，+∞）是增函数，由所求不等式自变量都大于等于2，利用增函数的性质列出关于t的不等式，求出不等式的解集即可得到t的范围．
【解析】
由题意知f（x）=a（x-x1）（x-x2）=a（x-1）（x-3），
且a＜0，二次函数在区间[2，+∞）是减函数，
又因为|t|+8＞8，2+t2≥2，
故由二次函数的单调性知不等式f（|t|+8）＜f（2+t2），
等价于|t|+8＞2+t2，
∴|t|2-|t|-6＜0，即（|t|-3）（|t|+2）＜0，
解得：0＜|t|＜3
解得：-3＜t＜3，且t≠0．