Question

已知递增等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中项，
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞62成立的正整数n的最小值．

Answer

（I）由题意，得，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ），Sn=b1+b2+…+bn=-（1×2+2×22+…+n×2n），所以数列{bn}的前项和Sn=2n+1-2-n•2n+1，使Sn+n•2n+1＞62成立的正整数n的最小值．
【解析】
（I）由题意，得，…（2分）
解得…（4分）
由于{an}是递增数列，所以a1=2，q=2
即数列{an}的通项公式为an=2•2n-1=2n…（6分）
（Ⅱ）…（8分）
Sn=b1+b2+…+bn=-（1×2+2×22+…+n×2n）①
则2Sn=-（1×22+2×23+…+n×2n+1）②
②-①，得Sn=（2+22+…+2n）-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
即数列{bn}的前项和Sn=2n+1-2-n•2n+1…（10分）
则Sn+n•2n+1=2n+1-2＞62，所以n＞5，
即n的最小值为6．…（12分）