Question

如图，△VAC中，VC⊥AC，将其绕直线VC旋转得到△VBC，D是AB的中点，AB=，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）
（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．
（Ⅲ）θ=时，在线段VB上能否找到点E使二面角E-CD-B的大小也为，若能，求．

Answer

（I）根据已知中，△VAC中，VC⊥AC，将其绕直线VC旋转得到△VBC，D是AB的中点，我们易得到VC⊥AC，VC⊥BC，进而根据线面垂直的判定定理，得到平面VAB⊥平面VCD；，以C为坐标原点，CA、CB、CV为x、y、z轴建立坐标系如图，我们求出各顶点的坐标，进而确定直线AB与平面VCD的法向量，利用向量法证明，AB⊥平面VCD，再由面垂直的判定定理得到平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）设平面VAB的法向量为=（x，y，z），并求出平面VAB的法向量，并设直线BC与平面VAB所成角为φ，根据已知中AB=，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜），结合向量夹角公式，易得到直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．
（III）当θ=时，则我们易求出满足条件的V点的坐标，进而求出满足条件的E点坐标，根据二面角E-CD-B的大小也为，我们易构造一个关于λ方程，解方程即可求出满足条件的λ．
【解析】
（Ⅰ）∵AB=，AC=BC=a，
∴AC⊥BC，
∵VC⊥AC，VC⊥BC，
∴VC⊥平面ABC，
以C为坐标原点，CA、CB、CV为x、y、z轴建立坐标系如图，

则A（a，0，0），B（0，a，0），D（，，0），V（0，0， ），
∴=（，，- ），=（，，0），=（-a，a，0），
∴，=0，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB⊂平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ）设平面VAB的法向量为=（x，y，z），
∴，，
∴，
∴又=（1，1，），
又∵=（0，-a，0）
设直线BC与平面VAB所成角为φ，
∴sinφ==，
∵0＜θ＜，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜
0≤φ≤，∴0＜φ＜．λ
（Ⅲ）当时，V点坐标为（0，0，a），
假设存在点E，则=，
∴E点坐标为（ 0，（1-λ）a，）
设平面CDE的法向量为=（x，y，z）
∴，
∴，
∴=（1，-1，）
∵二面角E-CD-B的大小为，
∴cos==，
∴=1，
∴λ=，
故符合题意的λ=．