Question

已知函数f（x）=log₂（），数列{a_n}的前n项和为S_n对一切正整数n，点（n，S_n）都在f（x）的反函数图象上，又bn=a_n-log₂a_n，{b_n}前n项和为B_n，C_n=，{c_n}前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）求数列{b_n}的前n项和B_n；
（3）比较B_n与T_n的大小．

Answer

（1）点（n，Sn）都在f（x）的反函数图象上，则（Sn，n）在函数f（x）=log2（）上，代入求出Sn，再利用公式
求出an
（2）利用bn=an-log2an  求出bn的通项公式，再利用错位相减法求和即可
（3）利用Cn=，求出{cn}的通项公式，求和得Tn，先令n=1、2、3时，比较大小，再用二项式定理证明当n≥3时  Bn＞Tn   即可．
【解析】
（1）依题意，n=log2（+1），∴Sn=2n+2-4
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1
n=1时，a1=S1=23-4=4，也适合上式
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1，n∈N*
（2）∵bn=an-log2an=（n+1）2n+1
∴Bn=2•22+3•23+4•24+…+n2n+（n+1）2n+1    ①
2Bn=2•23+3•24+4•25+…+n2n+1+（n+1）2n+2   ②
②-①得：Bn=-23-23-24-25-…-2n+1+（n+1）2n+2 
=-23-+（n+1）2n+2 
=（n+1）2n+2-2n+2
=n2n+2
∴Bn=n2n+2
（3）Cn==4n-1
易得Tn=n（2n+1）
当n=1时  Bn=2，Tn=3，Bn＜Tn
当n=2时  Bn=8，Tn=10，Bn＜Tn
当n=3时  Bn=24，Tn=21，Bn＞Tn
当n≥3时  Bn=n2n
2n=（1+1）n=Cn+Cn1+Cn3+…+Cnn-1+Cnn＞Cn+Cn1+Cnn-1=2n+1
∴Bn＞Tn
综上所述，当n=1、n=2时  Bn＜Tn 当n≥3时  Bn＞Tn