Question

如图，已知直线l与抛物线相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）．
（1）若动点M满足，求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点B的直线l'（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同
的两点E、F（E在B、F之间），且，试求λ的取值范围．

Answer

（1）由，知，所以l的斜率为y'x=2=1，从而得到直线l的方程为y=x-1，点A坐标为A（1，0），由此能求出动点M的轨迹C的方程．
（2）由题意，设l'的方程为y=k（x-2）（k≠0），由，得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0．由△＞0得．设E（x1，y1），F（x2，y2），再结合韦达定理进行求解．
【解析】
（1）∵，∴，
∴l的斜率为y'x=2=1
∴直线l的方程为y=x-1
∴点A坐标为A（1，0）
设M（x、y），
则
由得
整理得--------（6分）
（2）由题意，设l'的方程为y=k（x-2）（k≠0）
由
得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0由△＞0得
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则①
∵，
∴x1-2=λ（x2-2）②
且0＜λ＜1
由①知，③
④
由②③④知：
∴
即
∵，
∴
解得  
又0＜λ＜1
∴--------------（14分）