Question

已知椭圆C经过点M（1，），两个焦点是F₁（-1，0）和F₂（1，0）
（I）求椭圆C的方程；
（II）若A、B为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP 与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，求证：以BD为直径的圆与直线的圆与直线PF₂相切．

Answer

（I）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），求出M到焦点的距离，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的方程；
（II）设直线AP的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得P的坐标，分类讨论，证明圆心E到直线PF2的距离等于半径，即可求得结论．
（I）【解析】
设椭圆C的方程为（a＞b＞0）
∵M（1，），两个焦点是F1（-1，0）和F2（1，0）
∴|MF1|=，
∴2a=|MF1|+|MF2|=4
∴a=2
∴=
∴椭圆C的方程为；
（II）证明：由题意，A（-2，0），B（2，0），设直线AP：y=k（x+2）（k≠0），则D（2，4k），|BD|=4|k|，BD中点E（2，2k），以BD为直径的圆E方程是（x-2）2+（y-4k）2=4k2，
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k2）+16k2x+16k2-12=0
设P（x，y），则，
当直线PF2⊥x轴时，∵F2（1，0），∴
以BD为直径的圆（x-2）2+（y±1）2=1与直线PF2相切；
当直线PF2与x轴不垂直时，，直线PF2的斜率为，方程为4kx-（1-4k2）y-4k=0
圆心E到直线PF2的距离为
∴以BD为直径的圆与直线PF2相切，
综上可得，以BD为直径的圆与直线的圆与直线PF2相切．