Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f=f（x）+f（y），若数列{a_n}的前n项和为s_n，且满足，则a_n为   （ ）
A．2^n-1
B．n
C．2n-1
D．

Answer

根据已知中对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且数列{an}满足，可得数列{an}是一个以1为首项，以为公比的等比数列，进而得到数列的通项公式．
【解析】
∵对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵，
∴f（sn+2）=f（3）+f（an）=f（3•an）
又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴sn+2=3an…①
当n=1时，s1+2=a1+2=3a1，解得an=1
当n≥2时，sn-1+2=3an-1…②
①-②得：an=3an-3an-1
即
∴数列{an}是一个以1为首项，以为公比的等比数列
∴an=
故选D