Question

函数y=的图象上至少存在不同的三点到（1，0）的距离构成等比数列，则公比的取值范围    ．

Answer

将函数化简整理，可得函数图象是椭圆的上半部分，而点F（1，0）恰好是椭圆的右焦点．设图象上有三个点P1、P2、P3满足P1F、P2F、P3F构成等比数列，且公比为q，可得=q2．最后根据椭圆上一点到焦点距离的最大、最小值，讨论得到公比q的取值范围．
【解析】
将函数函数y=化简，整理得，其中y≥0
所以函数图象是椭圆的上半部分，如右图
可得a2=4，b2=3，所以c2=a2-b2=1，
所以点F（1，0）恰好是椭圆的右焦点
设图象上有三个点P1、P2、P3满足P1F、P2F、P3F构成等比数列，
且公比为q
即==q，所以=q2
①当q＞1时，|P3F|≤a+c=3，|P1F|≥a-c=1
∴q2≤3，解之得1
②当0＜q＜1时，类似①的方法可得
综上所述，可得q的取值范围是或
故答案为：[，1）∪（1，]