Question

已知函数．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值；
（Ⅱ）若∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；
（Ⅲ）若a＞-1，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer

（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，利用f（x）在x=1处取得极大值，可求实数a的值；
（II）求导数，根据∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，可得对x∈R成立，即使f'（x）的最小值大于k；
（III）分类讨论，确定函数在区间[0，1]上的单调性，从而可求函数的最大值．
【解析】
（Ⅰ）因为 f'（x）=x2-（2a+1）x+（a2+a）=（x-a）[x-（a+1）]…（2分）
令f'（x）=0，得x1=（a+1），x2=a
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （-∞，a） a （a，a+1） a+1 （a+1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 极大值 极小值

…（4分）
因为f（x）在x=1处取得极大值，所以a=1…（5分）
（II）求导数可得…（6分）
因为∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以对x∈R成立…（7分）
所以只要f'（x）的最小值大于k，所以…（8分）
（III）因为a＞-1，所以a+1＞0，
当a≥1时，f'（x）≥0对x∈[0，1]成立，所以当x=1时，f（x）取得最大值…（9分）
当0＜a＜1时，在x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（a，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=a时，f（x）取得最大值…（10分）
当a=0时，在x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0…（11分）
当-1＜a＜0时，在x∈（0，a+1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，在x∈（a+1，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，又，
当时，f（x）在x=1取得最大值
当时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0
当时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0．…（14分）
综上所述，当a≥1或时，f（x）取得最大值；当0＜a＜1时，f（x）取得最大值；当时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0；当时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0．