Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C₂的极坐标方程为ρ=asinθ（a＞0）．
（1）当直线l与曲线C₂相切时求a的值；
（2）求直线l被曲线C₁所截得的弦长．

Answer

（1）参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，建立等式，即可求a的值；
（2）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用参数的几何意义，即可求弦长．
【解析】
（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为，即
曲线C2的极坐标方程为ρ=asinθ（a＞0），化为直角坐标方程为x2+y2-ay=0，即
∵直线l与曲线C2相切，
∴，∴a=2；
（2）曲线C1的参数方程为（α为参数），化为普通方程为
直线l的参数方程，可化为（t为参数），代入椭圆方程可得13t2-4t-4=0
设方程的根为t1，t2，∴t1+t2=，t1t2=-
∴直线l被曲线C1所截得的弦长为|t1-t2|==．