Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）某学生利用第（2）题中的T_n设计了一个程序框图如图所示，但数学老师判断这个程序是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意老师的观点？请说明理由．

Answer

（1）根据n=1时，a1=S1，n≥2时，an=Sn-Sn-1，检验n=1时，是否也满足n≥2时，an=Sn-Sn-1得到的式子，可得数列{an}的通项公式；
（2）根据已知求出数列{bn}的通项公式，利用分组求和法，可得数列{bn}的前n项和为Tn；
（3）根据（2）中前n项和为Tn的表达式，判断循环条件：Tn-P=2009是否会成立，可得答案．
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=n+1，
当n=1时，有a1=1+1=2满足题意，
故数列{an}的通项公式为an=n+1（n∈N*）．
（2）当n为偶数时Tn=（b1+b3+…+bn-1）+（b2+b4+…+bn）=（a1+a3+…+an-1）+（22+24+…+2n）
=•+=+（2n-1）．
当n为奇数时，n+1为偶数，
则Tn+1=+（2n+1-1）
=+（2n+1-1），
而Tn+1=Tn+bn+1=Tn+2n+1，
∴Tn=+•2n+1-．
（3）由程序框图知，P=+24n．
设数列{dn}的通项公式为dn=Tn-P（n∈N*），
当n为奇数时，dn=•2n+1-23n-，令dn+2-dn=2n+1-46＞0，则n≥5，
∴从第5项开始数列{dn}中的奇数项递增，而d1，d3，…，d11均小于2 009且d13＞2 009，
∴dn≠2 009．当n为偶数时，dn=•2n+1-n-，令dn+2-dn=2n+2-47＞0，则n≥4，
∴从第4项开始数列{dn}中的偶数项递增，而d2，d4，…，d10均小于2 009且d12＞2 009，
∴dn≠2 009（n∈N*）．故dn≠2 009，即Tn-P≠2 009（n∈N*），
即程序为死循环，所以老师的判断是正确的．