Question

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer

（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由椭圆的性质可得从而解决．
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知=λ2及点P在椭圆C上，可得=λ2，整理得（16λ2-9）x2+16λ2y2=112，其中x∈[-4，4]．再按照圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程讨论．
【解析】
（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，
由已知得，解得a=4，c=3，
所以椭圆C的方程为=1．
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．
由已知=λ2及点P在椭圆C上，可得=λ2，
整理得（16λ2-9）x2+16λ2y2=112，其中x∈[-4，4]．
①λ=时，化简得9y2=112．
所以点M的轨迹方程为y=±（-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．
②λ≠时，方程变形为=1，
其中x∈[-4，4]；
当0＜λ＜时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；
当＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．