Question

设函数f（x）=ln（x+a）+x²
（I）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于．

Answer

（I）先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f′（-1）=0，代入可求a，代入a的值，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可．
（II）由题意可得在区间（-a，+∞）上，f′（x）=0有根，结合一元二次方程根的存在情况讨论该方程的△=4a2-8，求a的取值范围，结合a的取值，把极值点代入函数f（x）可得，
【解析】
（Ⅰ），
依题意有f'（-1）=0，故．
从而．
f（x）的定义域为，当时，f'（x）＞0；
当时，f'（x）＜0；
当时，f'（x）＞0．
从而，f（x）分别在区间单调增加，在区间单调减少．

（Ⅱ）f（x）的定义域为（-a，+∞），．
方程2x2+2ax+1=0的判别式△=4a2-8．
（ⅰ）若△＜0，即，在f（x）的定义域内f'（x）＞0，故f（x）的极值．
（ⅱ）若△=0，则或．
若，，．
当时，f'（x）=0，
当时，f'（x）＞0，所以f（x）无极值．
若，，，f（x）也无极值．
（ⅲ）若△＞0，即或，则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根，．
当时，x1＜-a，x2＜-a，从而f'（x）有f（x）的定义域内没有零点，
故f（x）无极值．
当时，x1＞-a，x2＞-a，f'（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别方法知f（x）在x=x1，x=x2取得极值．
综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为．
f（x）的极值之和为．