Question

设f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R满足f（ab）-af（b）=bf（a），．有下列结论：
①f（1）=f（0）=0；
②f（x）为偶函数；
③数列{a_n}为等差数列；
④数列{b_n}为等比数列．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

Answer

给a、b赋值，使它们都等于0，再使它们都等于1，得到结论①正确；由f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，得f（-1）=0，f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函数；根据f（ab）-af（b）=bf（a），可得=++…+（共n个）=n，从而f（3n）=n×3n，由此可得③④正确．
【解析】
①∵取a=b=0，可得f（0）=0，取a=b=1，可得f（1）=0，∴f（0）=f（1）=0，即①正确；
②∵f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0，∴f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），∴f（x）是R上的奇函数．故②不正确；
③∵f（ab）-af（b）=bf（a），∴，∴，
以此类推=++…+（共n个）=n，
∴f（3n）=n×3n，∴an==n，故③正确．
④bn==3n，故④正确．
∴正确的是①③④．
故选C．