Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别为AD₁、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面B₁D₁C；
（2）求二面角B₁-D₁C-A的大小；
（3）求三棱锥B₁-ACD₁的体积．

Answer

（1）证明EF∥平面B1D1C，利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥D1C；
（2）取D1C的中点M，连接AM，B1M，B1A，证明∠AMB1为二面角B1-D1C-A的平面角，计算，，，利用余弦定理，即可求得二面角B1-D1C-A的大小；
（3）利用VB1-ACD1=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC，即可求得三棱锥B1-ACD1的体积．
（1）证明：连接AC，在△AD1C中，
∵F为BD的中点，∴F为AC的中点
∵E为AD1的中点，
∴EF∥D1C
∵EF⊄平面B1D1C，D1C⊂平面B1D1C
∴EF∥平面B1D1C；
（2）【解析】
取D1C的中点M，连接AM，B1M，B1A
∵△AD1C为正三角形，M为CD1的中点
∴AM⊥D1C
同理，在正三角形B1D1C，B1M⊥D1C
∴∠AMB1为二面角B1-D1C-A的平面角
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1
∴，，
∴cos∠AMB1=
∴二面角B1-D1C-A的大小为arccos；
（3）【解析】
VB1-ACD1=VABCD-A1B1C1D1-4VB1-ABC=1-4×××1×1=