Question

设函数，数列{a_n}满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，设，若恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（I）由推出递推关系式an-a n-1=，n≥2，从而有数列{an}为等差数列，最后写出通项公式．
（II）由（I）得an=．an+1=．得出anan+1=，从而有=，利用拆项法求和Sn，再结合题设利用函数的最小值，从而求得实数t的取值范围．
【解析】
（I）由可得an-a n-1=，n≥2，
故数列{an}为等差数列，
又a1=1，
它的通项公式an=．
（II），
由（I）得an=．an+1=．
∴anan+1=，
∴=，
∴Sn==，
⇔⇔t，令g（n）=，
g（n）==2n+3+-6，由于2n+3≥5，故g（n）的最小值为，
∴t，
∴实数t的取值范围（-∞，]．