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在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=6...

在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:CD⊥AE;
(2)证明:PD⊥平面ABE;
(3)求二面角B-PC-D的余弦值.

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(1)由PA⊥底面ABCD,可得 CD⊥PA,又CD⊥AC,故CD⊥面PAC,从而证得CD⊥AE. (2)由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC,由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD,AE⊥PD,再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE. (3)由题可知 PA,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点建立空间坐标系,分别求出平面BPC和平面PCD的法向量,代入向量夹角公式可得答案. 证明:(1)PA⊥底面ABCD, ∴CD⊥PA. 又CD⊥AC,PA∩AC=A, ∴CD⊥面PAC,AE⊂面PAC, ∴CD⊥AE. (2)PA=AB=BC,∠ABC=60°, ∴PA=AC,E是PC的中点, ∴AE⊥PC, 由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD, ∴AE⊥PD.易知BA⊥PD, ∴PD⊥面ABE. 【解析】 (3)由题可知 PA,AB,AD两两垂直,如图建立空间直角坐标系, 设AB=2,则B(2,0,0),C(1,,0),P(0,0,2),D(0,,0) 设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z),=(2,0,-2),=(-1,,0) ,即, 取y=,则x=z=3 即=(3,,3) 设面PDC的一个法向量为,, ,即 取,则x=1,z=2, 即 ∴ 由图可知钝二面角B-PC-D的余弦值为.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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