Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：CD⊥AE；
（2）证明：PD⊥平面ABE；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer

（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE．
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE．
（3）由题可知 PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点建立空间坐标系，分别求出平面BPC和平面PCD的法向量，代入向量夹角公式可得答案．
证明：（1）PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，AE⊂面PAC，
∴CD⊥AE．
（2）PA=AB=BC，∠ABC=60°，
∴PA=AC，E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，
∴AE⊥PD．易知BA⊥PD，
∴PD⊥面ABE．
【解析】
（3）由题可知 PA，AB，AD两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
设AB=2，则B（2，0，0），C（1，，0），P（0，0，2），D（0，，0）
设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（2，0，-2），=（-1，，0）
，即，
取y=，则x=z=3
即=（3，，3）
设面PDC的一个法向量为，，
，即
取，则x=1，z=2，
即
∴
由图可知钝二面角B-PC-D的余弦值为．（12分）