Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC=EF=1，AB=AD=DE=DG=2．
（1）求证：平面BEF⊥平面DEFG；
（2）求证：BD∥平面ACGD；
（3）求三棱锥A-BCF的体积．

Answer

（1）根据平面ABCD∥平面DEFG，证出AB∥DE．结合题意，得ADEB为平行四边形，所以BE∥AD．而AD⊥平面DEFG，得到BE⊥平面DEFG，从而证出平面BEF⊥平面DEFG．
（2）取DG的中点为M，连接AM、FM．结合题中位置关系和长度数据，证出AB∥FM且AB=FM，所以四边形ABFM是平行四边形，得BF∥AM，再结合线面平行的判定定理，可得BD∥平面ACGD．
（3）根据题意，易得F到面ABC的距离为AD．将三棱锥A-BCF的体积转化为三棱锥F-ABC的体积，计算出△ABC的面积，再结合锥体体积公式，不难求出三棱锥A-BCF的体积．
【解析】
（1）∵平面ABCD∥平面DEFG，平面ABCD∩平面ADEB=AB，
平面DEFG∩平面ADEB=DE
∴AB∥DE．
∵AB=DE，∴ADEB为平行四边形，得BE∥AD．…（2分）
∵AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面DEFG，
∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面DEFG．…（4分）
（2）取DG的中点为M，连接AM、FM，则
∵EF∥DM，且EF=DM=1
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DE∥FM，DE=FM，
又∵DE∥AB，DE=AB，∴AB∥FM，AB=FM，…（6分）
∴四边形ABFM是平行四边形，得BF∥AM，
∵BF⊄平面ACGD，AM⊆平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD．…（8分）
（3）∵平面ABCD∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，
∴F到面ABC的距离为AD．
由此可得三棱锥A-BCF的体积为
=．…（12分）