Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数，求函数f（n）的最小值；
（3）设表示数列{b_n}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）把点P代入直线方程，可得an+1-an=1进而判断数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列数列{an}的通项公式可得．
（2）分别表示出f（n）和f（n+1），通过f（n+1）-f（n）＞0判断f（n）单调递增，故f（n）的最小值是
（3）把（1）中的an代入求得bn，进而求得最后（n-1）Sn-1-（n-2）Sn-2=nSn-n=n（Sn-1），判断存在关于n的整式g（x）=n．
【解析】
（1）由点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，
即an+1-an=1，且a1=1，数列{an}是以1为首项，
1为公差的等差数列an=1+（n-1）•1=n（n≥2），
a1=1同样满足，所以an=n
（2）

所以f（n）是单调递增，故f（n）的最小值是
（3），可得，
nSn-（n-1）Sn-1=Sn-1+1，
（n-1）Sn-1-（n-2）Sn-2=Sn-2+1S2-S1=S1+1nSn-S1
=S1+S2+S3++Sn-1+n-1S1+S2+S3++Sn-1
=nSn-n=n（Sn-1），n≥2g（n）=n
故存在关于n的整式g（x）=n，
使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．