Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由kOP+kOA=kPA得，，从而就可以得到轨迹C的方程；
（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则kPQ=kOA，
可得x2+x1=-1，由O、M、P三点共线可知，与共线，从而可得，
这样，我们可以求出M的横坐标，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标；
方法二、设，确定直线OP方程、直线QA方程，我们可以得出点M的横坐标为定值，由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标．
【解析】
（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由kOP+kOA=kPA得，，
整理得轨迹C的方程为y=x2（x≠0且x≠-1）．（4分）
（Ⅱ）方法一、
设，
由可知直线PQ∥OA，则kPQ=kOA，
故，即x2+x1=-1，（6分）
由O、M、P三点共线可知，与共线，
∴，
由（Ⅰ）知x1≠0，故y=xx1，（8分）
同理，由与共线，
∴，
即（x2+1）[（x+1）（x2-1）-（y-1）]=0，
由（Ⅰ）知x1≠-1，故（x+1）（x2-1）-（y-1）=0，（10分）
将y=xx1，x2=-1-x1代入上式得（x+1）（-2-x1）-（xx1-1）=0，
整理得-2x（x1+1）=x1+1，
由x≠-1得，（12分）
由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，
由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）． （14分）
方法二、设，
由可知直线PQ∥OA，则kPQ=kOA，
故，即x2=-x1-1，（6分）
∴直线OP方程为：y=x1x①；（8分）
直线QA的斜率为：，
∴直线QA方程为：y-1=（-x1-2）（x+1），即y=-（x1+2）x-x1-1②；（10分）
联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．（12分）
由S△PQA=2S△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，
由，得x1=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）