Question

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2^i-1个正整数，设a_ij（i，j∈N^*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．
（1）求a₆₉的值；
（2）用i，j表示a_ij；
（3）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），求证：当n≥4时，．

Answer

（1）根据已知条件可知每行的正整数的个数是等比数列，据此可先算出前5行的数分别为1，2，4，8，16总共31个，从而得到a69的值；
（2）观察已知可得每行的第一个数是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而得ai1=2i-1，每列的数又构成了以1为公差的等差数列，所以aij=2i-1+j-1，根据该通项判断300的位置
（3）利用（2）可得ann=2n-1+n-1，用分组求和，即可得到结论．
（1）【解析】
由于第i行有2i-1个数，前5行共有1+2+4+8+16=31个数
所以第6行的第9个数是正整数的第40个数，…（2分）
（2）【解析】
因为数表中前i-1行共有1+2+22+…+2i-2=2i-1-1个数，则第i行的第一个数是2i-1，
所以…（5分）
（3）证明：因为，则，…（6分）
所以=…（8分）
当n≥4时，=．…（10分）