Question

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形FF₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）因为，
所以，
由此可知“果圆”方程为，．
（2）由题意，得，所以a2-b2＞（2b-a）2，得．再由可知的取值范围．
（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
【解析】
（1）∵，
∴，
于是，
所求“果圆”方程为，

（2）由题意，得a+c＞2b，即．
∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2-b2＞（2b-a）2，得．
又b2＞c2=a2-b2，
∴．∴．

（3）设“果圆”C的方程为，．
记平行弦的斜率为k．
当k=0时，直线y=t（-b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，
与半椭圆的交点是Q．
∴P，Q的中点M（x，y）满足得．
∵a＜2b，∴．
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．