Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．
（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）²；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，求M的最小值．

Answer

（Ⅰ）f′（x）≤f（x）转化为x2+（b-2）x+c-b≥0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f（x）和（x+c）2作差整理成关于b和c的表达式即可．
（Ⅱ）对c≥|b|分c＞|b|和c=|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可．
【解析】
（Ⅰ）易知f'（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，
即x2+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）2-4（c-b）≤0，从而．
于是c≥1，且，因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）2-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即当x≥0时，f（x）≤（x+c）2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
当c＞|b|时，有M≥==，
令t=则-1＜t＜1，=2-，
而函数g（t）=2-（-1＜t＜1）的值域（-∞，）
因此，当c≥|b|时M的取值集合为[，+∞）．
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此时f（c）-f（b）=-8或0，c2-b2=0，
从而恒成立．
综上所述，M的最小值为