Question

若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”；
②f（x）=x不是“λ-伴随函数”；
③f（x）=x²是“λ-伴随函数”；
④“-伴随函数”至少有一个零点．
其中正确结论的个数是（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①、设f（x）=C则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，可判断①；
②、假设f（x）=x是一个“λ-同伴函数”，则x+λ+λx=0，则有λ+1=λ=0，解方程可判断②；
③、假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，则有λ+1=2λ=λ2=0，解方程可判断③；
④、令x=0，可得f（）=-f（0）．若f（0）=0，f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（ ）•f（0）=- （f（0））2＜0．可得f（x）在（0，）上必有实根，可判断④
【解析】
①、设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”，故①错误
②、假设f（x）=x是一个“λ-同伴函数”，则x+λ+λx=0对任意实数x成立，则有λ+1=λ=0，而此式无解，所以f（x）=x不是“λ-伴随函数”，故②正确；
③、假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，
即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ-同伴函数”．故③错误
④、令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=-f（0）．
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=-（f（0））2＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．
因此任意的“-同伴函数”必有根，即任意“-同伴函数”至少有一个零点．故④正确．
故答案为：B．