Question

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos²A=2a．
（1）求；
（2）求A的取值范围．

Answer

（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简，即可得到所求式子的值；
（2）由余弦定理表示出cosA，将第一问得到的b=2a代入，整理后利用基本不等式求出cosA的范围，再由A为三角形的内角，且根据余弦函数的单调性，即可得到A的范围．
【解析】
（1）由正弦定理化简已知的等式得：sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA，
即sinB（sin2A+cos2A）=2sinA，
∴sinB=2sinA，
再由正弦定理得：b=2a，
则=2；
（2）由（1）得：b=2a，
由余弦定理得：cosA===≥=，
∵A为三角形ABC的内角，且y=cosx在（0，π）上是减函数，
∴0＜A≤，
则A的取值范围是（0，]．