Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC₁的中点时，求证：平面A₁BD⊥平面EBD．

Answer

（1）连AC，A1C1，可先根据线面垂直的判定定理可证BD⊥平面ACC1A1，A1E⊂平面ACC1A1，根据线面垂直的性质可知BD⊥A1E；
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A1O，EO，根据二面角平面角的定义可知∠A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角，根据勾股定理可求出
∠A1EO=90°，根据面面垂直的定义可知平面A1BD⊥平面BDE．
证明：（1）连AC，A1C1
∵正方体AC1中，AA1⊥平面ABCD∴AA1⊥BD
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA1=A
∴BD⊥平面ACC1A1且E∈CC1∴A1E⊂平面ACC1A1∴BD⊥A1E
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A1O，EO
由（1）得BD⊥平面A1ACC1∴BD⊥A1O，BD⊥EO
∴∠A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角
∵AB=a，E为CC1中点∴A1O=，EO=，A1E=
∴A1O2+OE2=A1E2∴A1O⊥OE∴∠A1OE=90°
∴平面A1BD⊥平面BDE