Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，EF⊥PB．
（I）求证：PA∥平面BDE；
（II）求证：PB⊥平面DEF．

Answer

（I）连接AC，AC交BD于点G，连接EG．利用题设条件和中位线定理，推导出EG∥PA．由此能够证明PA∥平面EDB
（II）由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BC，由BC⊥DC，知BC⊥平面PDC．再由三垂线定理推导出DE⊥PB．由此能够证明PB⊥平面DEF．
（I）证明：如图，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．
∵底面ABCD是正方形，
∴G为AC的中点．
又E为PC的中点，
∴EG∥PA．
∵EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB
（II）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，PD⊥DC，PD⊥DB
又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
∴PC是PB在平面PDC内的射影．
∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，
∴DE⊥PC．
由三垂线定理知，DE⊥PB．
∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面DEF．