Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（-1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若，且a_n∈（-1，0）∪（0，1），则数列{f（a_n）}为等比数列．
其中你认为正确的所有结论的序号是    ．

Answer

①取x=y=0代入已知的等式，则可求f（0）=0；
②取x=0，y=x，代入已知等式，整理后可得函数f（x）为奇函数；
③取x，y∈（-1，1），可证出，当时，不能证明函数f（x）是定义域内的增函数；
④运用奇函数定义，得=f（an+1），整理后可得数列{f（an）}为等比数列．
【解析】
①由对任意x，y∈（-1，1），恒成立．
取x=y=0，则，所以f（0）=0，所以①正确；
②取x=0，y=x，则，即f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以②正确；
③设-1＜x＜y＜1，则-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，所以，
又，
所以，
若，则＞0，有f（x）＞f（y），此时函数为减函数，
所以③不正确；
④由=f（an+1），所以f（an+1）=2f（an），
又an∈（-1，0）∪（0，1），所以f（an）≠0，所以数列{f（an）}为等比数列．
所以④正确．
故答案为①②④．