Question

三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）若，且异面直线PC与AD的夹角为60°时，求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer

（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于点O，由PA=PB=PC，知O为△ABC的外心，由∠ACB=90°，知O为AB边的中点，由此能够证明平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能够求出二面角P-CD-A的余弦值．
证明：（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于点O，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，即O为△ABC的外心
又∵△ABC中，∠ACB=90°，∴O为AB边的中点，
∴PO⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）∵△ABC中，，AC=CB=2，
∴
∵，且异面直线PC与AD的夹角为60°，PB=PC
∴∠PCB=60°，∴△PCB为正三角形，解得．
以O为坐标原点，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，
则，，，，
∵=，∴． …（9分）
设平面PCD的法向量为，
∵，
由，取
平面ACD的法向量为
∴．
由图可知，所求二面角P-CD-A为钝角，其的余弦值为．…（12分）