Question

已知函数．
（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）试证明：•••…•（1+n（n+1））＞e^2n-3．

Answer

（Ⅰ）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；
（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，从而令，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
由题，…（2分）
故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）
（Ⅱ）【解析】
当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，
取，则，…（5分）
再取g（x）=x-1-ln（x+1），则，
故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（1）=-ln2＜0，g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，…（7分）
故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a-1-ln（a+1）=0，
故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，
故，故kmax=3…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：，∴
令，…（10分）
又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））=
即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e2n-3…（14分）