Question

若一个正四面体的表面积为S₁，其内切球的表面积为S₂，则=    ．

Answer

设正四面体ABCD的棱长为a，利用体积分割法计算出内切球半径r=a，从而得到S2关于a的式子．利用正三角形面积公式，算出正四面体的表面积S1关于a的式子，由此不难得出S1与S2的比值．
【解析】
设正四面体ABCD的棱长为a，可得
∵等边三角形ABC的高等于a，底面中心将高分为2：1的两段
∴底面中心到顶点的距离为×a=a
可得正四面体ABCD的高为h==a
∴正四面体ABCD的体积V=×S△ABC×a=a2，
设正四面体ABCD的内切球半径为r，则4××S△ABC×r=a2，解得r=a
∴内切球表面积S2=4πr2=
∵正四面体ABCD的表面积为S1=4×S△ABC=a2，
∴==
故答案为：