Question

在数列{a_n}中，已知．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等差数列；
（3）设数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由题设知数列{an}是首项为，公比为的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，知=3n-2．由此能够证明数列{bn}是等差数列．
（3）由，bn=3n-2，知cn=an+bn=（）n+3n-2，由此利用分组求和法能求出{cn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）在数列{an}中，∵，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
∴an=（）n，n∈N*．
（2）∵，
∴=3n-2．
∴b1=1，bn+1-bn=3，
∴数列{bn}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列．
（3）由（1）知，bn=3n-2，
∴cn=an+bn=（）n+3n-2，
∴Sn=1++4+（）2+7+（）3+…+（3n-5）+（）n-1+（3n-2）+（）n
=[1+4+7+…+（3n-5）+（3n-2）]+[+（）2+（）3+…+（）n]
=+
=．