Question

各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）
（1）求常数p的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=，求数列{b_n}的前n项和T．

Answer

（1）根据a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan-p，令n=1，解方程即可求得结果；
（2）由2Sn=2an2+an-1，知2Sn-1=2an-12+an-1-1，（n≥2），所以（an-an-1-1）（an+an-1）=0，由此能求出数列{an}的通项公式．
（3）根据求出数列{bn}的通项公式，利用错位相减法即可求得结果．
【解析】
（1）∵a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan-p
∴2a1=2pa12+pa1-p，即2=2p+p-p，解得p=1；
（2）2Sn=2an2+an-1，①
2Sn-1=2an-12+an-1-1，（n≥2），②
①-②即得（an-an-1-）（an+an-1）=0，
因为an+an-1≠0，所以an-an-1-=0，
∴
（3）2Sn=2an2+an-1=2×，
∴Sn=，
∴=n•2n
Tn=1×21+2×22+…+n•2n③
又2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）•2n+n2n+1 ④
④-③Tn=-1×21-（22+23+…+2n）+n2n+1=（n-1）2n+1+2
∴Tn=（n-1）2n+1+2