Question

已知函数为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（3）求证：对于任意的成立．

Answer

（1）先求出函数f（x）的导数f′（x），由题意可知：当x≥1时，f′（x）≥0恒成立，解出a的取值范围即可．
（2）根据导函数及利用（1）需要对a进行分类讨论即可．
（3）利用（1）的结论，只要令a=1，即可．
【解析】
（1）∵函数为大于零的常数，
∴=．
∵函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，
∴当x≥1时，f′（x）≥0恒成立，即（a＞0），x∈[1，+∞）恒成立⇔，（a＞0）x∈[1，+∞）⇔（a＞0）．
解得a≥1．即为所求的取值范围．
（2）（i）由（1）可知：当a≥1时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，且f（1）=0．
（ii）当0＜a≤时，，∴当x∈[1，2]时，f′（x）≤0，∴函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，且f（2）=ln2-．
（iii）当时，．
令f′（x）=0，则．
当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．
∴当时，函数f（x）取得极小值，因为在区间[1，2]内只有一个极小值，所以也即最小值，∴最小值为=．
（3）由（1）可知：令a=1，则函数f（x）=lnx在区间[1，+∞）上单调递增．
再令，，而，f（1）=0，
∴．
∴lnn=（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[lnn-ln（n-1）]＞…，
即lnn＞…．