Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式 f（x²+y-1）+f（-x²+2x-1）≤0恒成立，4x²+y²的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

根据函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称，可得函数是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，可得y≥-2x+2，设t=4x2+y2，利用换元法，即可求4x2+y2的最小值．
【解析】
∵函数y=f（x-1）的图象关于点 （1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点 （0，0）对称，即函数是奇函数
∴不等式f（x2+y-1）+f（-x2+2x-1）≤0等价于不等式f（x2+y-1）≤f（x2-2x+1）
∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，
∴x2+y-1≥x2-2x+1，∴y≥-2x+2
设t=4x2+y2，则x=，y=sinα，∴sinα≥-cosα+2
∴sin（α+）≥2
∴≥2，∴t≥2
即4x2+y2的最小值是2
故选C．