Question

如图展示了一个由区间（0，4）到实数集R的映射过程：区间（0，4）中的实数m对应数轴上的点M（如图），将线段AB围成一个正方形，使两端点A、B恰好重合（如图），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上，点A的坐标为（0，4）（如图），若图中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．现给出以下命题：
①f（2）=0；
②f（x）的图象关于点（2，0）对称；
③f（x）在（3，4）上为常数函数；④f（x）为偶函数．
其中正确命题的个数有（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

本题利用直接法和排除法解决．由题意知，①可直接求解其函数值进行判断；函数f（x）的定义域为（0，4），不关于原点对称，函数f（x）是非奇非偶函数，故④错．当x从3→4变化时，点N始终在正方形的一条边的延长线上，其对应的坐标值不变，所以③正确．对于②，由于当m=2时对应的正方形的点在y轴，可从运动的角度进行分析．
【解析】
由题意知，f（2）=0，故①对；
又∵函数f（x）的定义域为（0，4），不关于原点对称，∴函数f（x）是非奇非偶函数，故④错．
当x从3→4变化时，点N始终在正方形的一条边的延长线上，其对应的坐标值不变，故f（x）在（3，4）上为常数函数，所以③正确．
对于②，由于当m=2时对应的正方形的点在y轴，所以f（x）的图象关于点（2，0）对称，故②正确．
故选C．