Question

设函数f（x）=|x-m|-mx，其中m为常数且m＜0．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）试探求f（x）存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．

Answer

（1）将f（x）＜0转化为|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，再对参数m分类讨论解不等式．
（2）函数可变为f（x）=，运用单调性据函数的形式判断出-（1-m）≤0，结合m＜0得出答案．
【解析】
（1）由f（x）＜0得，|x-m|＜mx，得-mx＜x-m＜mx，
即．
①当m=-1时，x＜-；
②当-1＜m＜0时，＜x＜；
③当m＜-1时，x＜；
综上所述，当m＜-1时，不等式解集为{x|x＜}；
当m=-1时，不等式解集为{x|x＜-}；
当-1＜m＜0时，不等式解集为{x|＜x＜}．
（2）f（x）=，
∵m＜0，∴1-m＞0，f（x）在[m，+∞）上单调递增，要使函数f（x）存在最小值，
则f（x）在（-∞，m）上是减函数或常数，
∴-（1+m）≤0即m≥-1，又m＜0，
∴-1≤m＜0．
故f（x）存在最小值的充要条件是-1≤m＜0，且f（x）min=f（m）=-m2．