Question

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，侧棱BB₁⊥底面ABCD，E是侧棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求证：AC∥平面B₁DE．

Answer

（Ⅰ）先证AC⊥BD与BB1⊥AC，再证AC⊥平面BDD1B1
（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连接OF，EF，先证OF∥CC1与OF=CC1，再证OC∥EF，再证AC∥平面B1DE．
证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
因为BB1⊥底面ABCD，
所以BB1⊥AC，（3分）
所以AC⊥平面BDD1B1．（5分）
（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连接OF，EF，
则OF∥BB1，且，
又E是侧棱CC1的中点，，BB1∥CC1，BB1=CC1，
所以OF∥CC1，且，（7分）
所以四边形OCEF为平行四边形，OC∥EF，（9分）
又AC∥平面B1DE，EF∥平面B1DE，（11分）
所以AC∥平面B1DE．（13分）