Question

已知f（x）=在区间[-1，1]上是增函数．
（1）求实数a的值所组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=的两个根为x₁、x₂，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）f（x）在区间[-1，1]上是增函数⇔f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立⇔x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立，设φ（x）=x2-ax-2，由即可求得答案；
（2）由（1）求得-1≤a≤1，于是可求得|x1-x2|=≤3，不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立⇔m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，从而可求得m的取值范围．
【解析】
（1）∵f′（x）==，
∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．
设φ（x）=x2-ax-2，则问题等价于⇔-1≤a≤1，
∴A=[-1，1]．
（2）由=，得x2-ax-2=0，△=a2+8＞0，
∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根，
∴x1+x2=a，x1x2=-2，从而|x1-x2|==，
∵-1≤a≤1，
∴|x1-x2|=≤3．
∴不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立
⇔m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立
⇔m2+tm-2≥0≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．
设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），则问题又等价于⇔m≤-2，
∴m≥2，即m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．